Konrad von Abel erhielt seine erste musikalische Ausbildung bei den Stuttgarter Hymnus-Chorknaben. Bereits im Alter von 17 Jahren lernte er Sergiu Celibidache kennen und empfing von dessen Art zu musizieren die entscheidenden Impulse. Von Abel setzte parallel zum Klavier- und Musiktheoriestudium an der Musikhochschule Stuttgart, das er 1983 mit dem künstlerischen Diplom abschloss, seine Dirigierausbildung in den Meisterkursen Celibidaches fort. Bis 1986 studierte er zudem Philosophie (Prof. Henrich) und Musikwissenschaft an der Ludwig-Maximilians-Universität München. Er gründete im selben Jahr das Jugendsymphonieorchester München, das er bis zum Jahr 2000 leitete.
Während er von 1986 bis 1996 künstlerischer Assistent Celibidaches bei den Münchner Philharmonikern und verantwortlicher Dozent für dessen Dirigierklasse war, entfaltete von Abel umfangreiche internationale Dirigieraktivitäten. Er leitete das Orchestra Sinfonica Siciliana Palermo, die Münchner Philharmoniker, das Symphonische Orchester Bern, das Orchestra Sinfonica di Bari, das Orchestra Alessandro Scarlatti di Napoli, das Orchestre Régional de Picardie, das Symphonische Orchester Zypern sowie Orchester in Deutschland, Italien, Finnland, Rumänien, Venezuela und Japan.
Von 2004 bis 2006 war er künstlerischer Direktor des Symphonieorchesters des Conservatoire National de Musique de Bordeaux.
Als Gründer und ständiger Dirigent des MonteverdiChores München gibt er mit diesem hochqualifizierten A-cappella-Ensemble regelmäßig Konzerte in Deutschland und im benachbarten Ausland.
Die zur Verwirklichung seiner musikalischen Vorstellung nötigen Arbeitsbedingungen sind im herkömmlichen Musikbetrieb immer seltener zu finden. Um eine Umgebung zu schaffen, die die Verfolgung seiner musikalischen Zielsetzungen begünstigt, hat er die Association Musique & Phénoménologie (ehemals Académie Internationale de Musique/Association Celibidache) aufgebaut. Mit dem Orchestre des Régions Européennes, das er 1999 dort ins Leben gerufen hat, hat er bisher mit großem Erfolg in Frankreich, Mexiko und Deutschland konzertiert.
Einen Teil seiner Zeit widmet er den Meisterklassen für Phänomenologie der Musik und Kammermusik in Paris und Madrid sowie den regelmäßig stattfindenden Dirigierworkshops in München. Seine Orchesterdirigierkurse und Chordirigierseminare in Frankreich, Belgien, Deutschland, der Tschechischen Republik und Rumänien werden von Musikern und Musik-interessierten aus aller Welt besucht.